Richard Feynman Principio de Mínima Acción y Path Integral
Feinmann en 1 de sus libros cuenta que un día cuando estaba en el cole, no en la universidad, en el cole, se llame como se llame en Estados Unidos el cole, ¿vale? Pues resulta que le vino su profesor un tal Vader, ¿no? No Darth Vader, sino esto, Vader, ¿vale? Y entonces le dijo, Feinmann parece usted aburrido, quédese un momento conmigo que le voy a explicar una cosa. Y entonces lo que le dijo ese profesor a Richard le cambió para siempre, es lo mismo que ocurrió cuando Einstein cuando de pequeñito iba paseando por Italia, por los bosques de Italia y resulta que le dio por pensar qué pasaría si fuéramos a la misma velocidad que un rayo de luz.
Eso eso tendría, no sé, 15, 16 años, 14, no lo sé cuántos años tendría, pero muy pequeño, y esa pregunta hizo que al final tuviera que dedicarse a la relatividad especial, la relatividad general, que era para intentar responder la pregunta que se hizo cuando era pequeña. Pues Feynman, esta era su su rayo de luz para entendernos. Cuando ese profesor le dijo a Feynman, ven aquí que te voy a contar una cosa, le impresionó y le fascinó tanto que no tuvo más remedio que que seguir con eso y eso es lo que ha cambiado, insisto, el punto de vista de la física teórica de hoy en día. Entonces básicamente lo que le dijo el profesor Vader pues era esto, que las leyes de la física de Newton son equivalentes a decir que el camino que sigue una partícula en la vida real, digamos, es aquel que hace mínimo una cantidad que se llama acción, Enseguida lo voy a decir ¿vale? Pero esto sería el principio de mínima acción.
Lo voy a poner ahora con ejemplos, no os preocupéis. O preocupados, no sé. Lo voy a explicar con matemáticas de segundo de bachillerato. Pues tenemos una pelota que está levantada a 10 metros y entonces si la soltamos pues cae, eso está más claro que el agua. La gravedad serán 10, aproximadamente 10 metros por segundo cuadrado, la gravedad de siempre, la velocidad inicial es 0.
Esto es un problema básico que le ponen a los chavalines pues este problema en concreto en cuarto de eso ¿vale? Primero el bachillerato y entonces pues te examinan de eso y tal, si alguien tiene algún hijo que estudia seguro que le han puesto eso cuando era pequeño ¿vale? Y entonces pues te preguntan oye ¿cuánto tiempo va a tardar en caer? Bueno pues haces la ley de Newton y tal y da pues 1 coma 41 segundos más o menos, si no hay fricción y todo el rollo ¿no? Más o menos Y entonces si te piden que dibujes la gráfica de la posición, la altura en función del tiempo, pues tiene tiene esta pinta más o menos, es decir que en el tiempo 0 estaba a 10 metros y a medida que va avanzando el tiempo la altura cada vez es más pequeña hasta que toca el suelo, ¿vale?
Eso es lo que dice Newton. Esta es la curva real que sigue la pelota en el caso ideal, sin fricción. ¿Qué dice el principio de mínima acción? Pues lo que dice el principio es lo siguiente, hay una cosa que se llama, la primera cosa es que se llama acción, ¿qué qué es la acción? La acción de una curva, ¿cómo se define?
La energía cinética menos la energía potencial, coges este este bicharraco, lo integras desde 0 hasta el tiempo en el que choca ese señor y esto te da un número ¿vale? Eso es, o sea que si tú tienes una una curva, sustituyes la curva en esa integral, la calculas y entonces pues te da un número, que en este caso concreto, pues lo calculado, y le dan menos 47. ¿Tiene alguna relevancia este número? Nada. ¿Significa algo?
No. Vale, de momento bien. Lo que lo que lo lo importante no es cuánto vale este número, sino lo importante, y es el principio de mínima acción, es que si yo pongo aquí dentro cualquier curva que no sea esta, el el número que va a dar siempre será mayor que este. Solo en el caso de la curva correcta, la predicha por Newton, es la que hará que este número sea el más pequeño posible. Y entonces pues, pues lo he probado, por ejemplo, con una curva inventada.
Le digo pues venga, así como curiosidad, y digo pues entonces esta línea roja así no es como se mueve el trasto ¿no? Cualquier otra curva que no sea la azul es mentira porque iría en contradicción con la ley de Newton, por tanto sería mentira, así que esta roja es una mentira como una casa, esto no se mueve así. De hecho si se moviera como la roja querría decir que hace esto, que eso es mentira, los objetos cada vez más rápido ¿no? Como forma de parabólica. Bueno, pues resulta que sustituyó esta curva en la acción y me da un número que efectivamente es mayor que este, bueno ya sabéis, ¿no?
Lo del menos que menos 35, menos 3 es mayor que que menos 4, en fin. Y para cualquier curva que nos inventemos que empiece aquí y acabe aquí, da un número mayor, por tanto el principio de mínima acción dice, cojo usted la curva que minimice la acción y eso es la correcta. Eso es lo que le dijo el profesor en aquel tiempo. Entonces claro, como no es que yo me aburra porque tengo un montón de, la vida es ajetreada, muy ajetreada y todos tenemos cosas que hacer, una de las cosas más importantes es responder a WhatsApp ¿no? Que es lo que dedica el tiempo mucha gente ¿no?
Yo no tengo WhatsApp, pero la cuestión es que siempre saco tiempo para esta estos jugueteos, por mucho que tenga que hacer, siempre cuando me interesa algo y sobre todo que tenga que ver con jugar pues me pongo a jugar. Entonces una de las cosas que yo tenía pendiente de hace muchísimo tiempo desde la juventud es voy a probar esto numéricamente y entonces le dije, oye ordenador, ¿podría usted, por favor, calcularme todas las todos los caminos posibles que hay desde desde la posición 0 hasta la posición 1. Mira fijaos esto es esto es la posición, esto es el tiempo, entonces, bueno, ahora lo voy a parar aquí mismo por ejemplo, por ejemplo, esto es un camino posible para llegar desde la posición 0 a la posición 1, fijaos ¿esto qué quiere decir? Que cuando pasa un cierto tiempo, porque esto es el tiempo, estoy aquí en 0 coma 3 metros, luego cuando pasa otro tiempo más, otro intervalo de tiempo más, he vuelto, sea esto en realidad es como si fuera una pelota que está moviéndose así. ¿Lo veis?
¿Se entiende no? Pues esto es un posible camino. ¿Cuántos caminos hay? Bueno, lo he discretizado, he hecho aquí una una rejilla, porque si tengo que hacer todos los caminos son infinitos y no cabría nunca, he tenido que hacer discreto que se llama, ¿no? Pero bueno, más o menos una aproximación.
Pues le he dicho al ordenador que calcule todos los caminos posibles la acción de una partícula libre, es decir, la cantidad esa de la integral que os he dicho ¿no? Y entonces ¿qué es lo que yo quiero? Pues quiero comprobar que el camino de verdad es el que tiene acción mínima en plan numérico, no sé si me explico lo que estoy diciendo. Entonces en el caso de que sea una partícula libre que no está sometida a ninguna fuerza, ya sabéis que la ley de Newton dice que seguirá un camino recto, la primera ley de Newton dice que si no está sujeto a ninguna fuerza o está quieto o si te mueves lo haces en línea recta con velocidad uniforme ¿no? En este caso concreto se traduce a que ahora sí, la la la función correcta de de Newton sería esta ¿no?
Todas las demás no. Entonces el ordenador me presenta el resultado y me dice mira aquí están todos los casi, bueno, 16000 caminos posibles que hay, y eso que lo he dividido en en 7, no, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6 trocitos de x y 6 trocitos de tiempo, todos los caminos posibles como, pero en cuadraditos de 6, y tiene 16000 posibilidades, quiere decir que si hubiera dividido en un poquito más de cuadritos no hubiera acabado para hoy, ¿vale? O sea que es una cosa, por suerte la gente no lo hace así, lo hace de otra manera ¿no? Bueno, pues de de esos 16000 caminos le dije, ¿pudiera usted representar Sisplau la la acción? Y entonces fijaos como en los diferentes caminos la acción, pues va abriendo lo que lo que le da la gana, no importa el número que dé, pero da lo que dé la gana, y cuando le digo al ordenador que busque cuál es el camino que tiene la acción mínima, me señala que es este, que si vamos aquí nos da 1.
¿Ese 1 es relevante para algo? No, simplemente es que es el más el número más pequeño, ¿no? Entonces el si al ordenador le preguntara oye cuál es el camino que va a seguir la partícula, pues este, que efectivamente cuando voy a buscar el camino 13000 y pico, voy a buscar y efectivamente es este. No sé si, esto es lo del Liche. Esto es lo que, por lo que se maravilló Findman.
Entonces, sí, ¿alguna pregunta o por? Vale, entonces, pero esto estamos de Newton, nada de cuántica ni de nada. Entonces nos vamos ahora ya a una fiesta típica que le gustaba a Weimannier siempre, él, bueno, en este momento estaba estaba, sí, ya había acabado el doctorado, no perdón, antes del doctorado, ostras claro, sí, sí, sí, perdón, estaba la universidad y entonces se encontró con Herbert Helde o algo así se llama, creo que era israelí pero no estoy seguro, Este señor era evidentemente europeo y fue a Estados Unidos, los típicos intercambios entre universidades y tal, y se juntaron todos en una cervecería, toma cerveza y cosas de estas. Y en aquello que, por lo que sea, Feynmann le preguntó a este hombre, por por hablar de algo, a qué te dedicas, yo que sé, y le preguntó, le preguntó esto. Feinmann le dice, oye, ¿conoces algún trabajo de la mecánica cuántica en el que esté la grangiano?
Por cierto, verdad, que no lo he dicho, la grangiano es lo que hay aquí dentro, esto es la acción, lo que he dicho que es la acción, pues es la integral de algo, pues este algo se le llama la grangiana, ¿por qué? Porque se le inventó la granche, da igual a los detalles. Entonces Fleimap, pues le preguntó a este buen hombre si conocía algo, porque él estaba desde que su profesor Vader, no Darth Vader, su profesor Vader le dijo lo de la mínima acción, él lo tenía fijado y quería introducir la la mínima acción en algún sitio y como la mecánica cuántica estaba desbordando en aquellos tiempos, pues él decía, usted pues a ver si hay algún principio de mínima acción o algo en la mecánica cuántica, eso sería fantástico. Entonces claro, como era novedoso y no había ni internet ni había nada, pues era mucho más difícil averiguar si alguien hacía algo de eso ¿no? Le preguntó a este hombre y casualidades de la vida que él dijo que sí, que conocía un artículo de Irak, no sé si sabes quién es Irak pero Irak es una eminencia, en fin, otro día podemos hablar de Irak, pues Irak sí que hizo algo y entonces dice mañana te lo enseño, ahora vamos a beber cerveza.
Y entonces al día siguiente la biblioteca, pues resulta que el señor este se lo enseña y y Richard Feinmann empieza a leerlo tal delante del Israelí y esto es un artículo escrito en el 32 por el Irak y hay una frase que pone literalmente, o sea esto lo he sacado del artículo original, o sea he hecho una captura de pantalla y lo estoy poniendo aquí, esto es tal cual está escrito en el artículo que lo podéis encontrar en la en la cualquier biblioteca de de una universidad de física, pues podéis encontrar esta misma frase y eso, tal como está escrito ¿no? Y entonces pues este hombre Dirac dijo algo así como que, da igual los detalles, pero creedme que esto es, digamos, física de Newton, y que esto a esta cantidad le corresponde, él cree, dirá, que le corresponde esta otra cosa que, si os fijáis, bueno, es un poco raro, ya digo, sin entrar en muchos en muchos detalles de momento, deciros que esto es la exponencial del número imaginario y aquí dentro está la integral del nagrangiano, es decir, esto es la acción. O sea, Dirák, haciendo divagaciones y cosas sobre la mecánica cuántica y tal, creía que había algún tipo de relación entre Newton y la mecánica cuántica a través de la acción, sin especificar nada ni nada, luego siguió hablando de otras cosas y fue una divagación muy vaga.
Pero claro, cuando Feinmann vio eso, entonces se gira para el señor Israelí, el investigador, y le pregunta, ¿qué quiere decir que corresponde? ¿Para qué sirve? Es todo maravillado el Richard, ¿no? Y entonces el otro día, ustedes los americanos siempre buscan un uso para todo, y entonces Fedma dice, pero claro, yo quiero, creo que quiere decir que es igual, ¿no? Igual me refiero que esta cantidad es igual a esto, ¿no?
Y entonces el el señor israelíes decía que no, que no, y y entonces Feinmann dice, vale, pues voy a ver qué pasa si lo igualo a ver qué pasa, y voy a empezar a hacer cálculos. Y vio que efectivamente no era igual pero era proporcional, o sea que como si fuera igual, se le pone una constante de proporcionalidad y ya está, bueno no hay que entrar tampoco en detalles pero pero es como decir que sí, digamos ¿no? Que era igual, aunque no lo era, pero casi. Fue al señor israelí, entonces el, Feinmann le dice al señor israelí, ostras pues no es igual, es proporcional, como un poco desanimado ¿no? Y entonces el Israelí que era un tío ya con más experiencia, que sabía distinguir entre lo que era importante y lo que no, le dijo, pero Richard, esto es importantísimo, menos mal que estaba ese hombre ahí para animarle, porque a partir de que oyó eso es entonces cuando empezó a hacer todo todo el asunto.
Hombre, muy buenas. Es cuando empezó a hacer todo el asunto y y fue cuando formuló el maravilloso, porque hay que decirlo, el maravilloso paz integral, que es la, digamos, una la manera que él encontró, o sea, coherente para para seguir lo que empezó Dirac. Dirac empezó con una frasecilla y él lo llevó hasta el final de todo. Y hay una anécdota que me interesa muchísimo decir ahora en este momento, porque una de las cosas que Feinmann le dijo al señor Israelí es, y a su director de tesis Willer en aquel momento, le dijo, es que yo creo una cosa, si yo pruebo, si yo pongo un igual ahí en esa fórmula y lo pruebo en un ejemplo concreto y funciona, y luego pongo, pruebo también con el igual, con otro ejemplo concreto y funciona, te aseguro yo que va a funcionar. Dicen que fue Bernuli el primero que dijo eso, que dijo no sé en algún sitio en plan hablando con los amigos, que si una teoría funciona en 2 cosas diferentes es muy probable que funcione en general, digamos ¿no?
Eso es mentira, o sea, pero cuando son cosas tan raras y funcionan 2 casos diferentes es una señal de que la cosa va bien ¿no? Y entonces, pues años, nada, unos cuantos, muy pocos años después, pues llegó, digamos, el la aparición de Richard Feynmann, no, él ya había hecho artículos en revistas científicas, pero este es el el primero que marcó un antes y un después, esto es tal cual es insisto tal cual aparece en las bibliotecas de de las universidades. Fue digamos ¿cómo decirlo? Es como si, como si después de que Newton hubiera dicho sus leyes de Newton, su teoría, pues viniera otro señor y le dijera, bueno de hecho ocurrió, pero bueno, como si viniera otro señor y dice mira voy a empezar la física de otra manera que es totalmente diferente a como lo haces tú Newton, pero te digo que es lo mismo aunque no lo parezca, Esto está en este papel, o sea, en ese artículo, apareció esto y la gente se quedó hecha polvo, me dijeron, espera un momento, ¿qué estás diciendo? ¿Qué está, cómo?
La mecánica cuántica ya está bien formulada y está con la ecuación de está de otra manera, ¿qué es lo que nos estás diciendo aquí? Esto costó muchísimo entender, porque estaba haciendo más de lo mismo pero diferente, veíamos, y este es el artículo que lo explica por primera vez que fue en el 48. Y nada, solo por curiosidad nada más deciros que él básicamente empezó la mecánica cuántica diciendo si esto se cumple, pues, o sea perdón, sí, o sea si aceptas estos 2 postulados puedes deducir todo lo que sabes de la mecánica cuántica pero solo con estas 2 cosas que te pongo aquí, no es verdad, hay que cosas del spin que es más jodido pero en aquella época era bastante verdad. Y lo que dijo Feynmann es mira, te voy a decir 2 postulados básicamente y es que si una partícula tiene que ir de un sitio a otro, estamos hablando de mecánica cuántica porque lo de Newton ya os lo he explicado antes, es verdad, la trayectoria correcta es la que minimiza la acción, eso ya se sabe, ya se sabía en Newton digamos, Lo que no se sabía era la versión en mecánica cuántica y la versión en mecánica cuántica básicamente es, ¿usted quiere ir de AAB?
Pues bueno la partícula a la que sea, ¿y quiere saber con qué probabilidad puede ocurrir eso? Bueno, pues lo único que tiene que hacer usted es sumar unos cuantos números complejos. Cada número complejo que sume usted equivale o depende de una trayectoria, o sea usted dígame una trayectoria, la que le dé la Dana, la correcta, bueno no se sabe cuál es la correcta porque mecánica cuántica no hay trayectorias correctas. Precisamente está lo que, si os suena algo de mecánica cuántica, que las partículas parece que van por todos los sitios a la vez, ¿no? O sea que no hay trayectoria correcta, por eso costó tanto de entender.
Pero Feinmann dice, es igual, aunque no haya trayectoria correcta, imagínate una cualquiera. Vale, pues coges esa trayectoria, la pones aquí, calculas la acción de toda la vida que te han enseñado en el cole, la acción esa que os he dicho antes, la divides entre la constante de plan, la multiplicas por I y lo pones aquí en el exponente y tal, y esto es lo que se llama, digamos, la amplitud de ese camino. Ahora cógete otro camino que una al punto de identidad y al final, el que quieras, haz la misma operación y luego otro camino y otro camino y otro camino y cuando ya estés con todos los caminos posibles, lo sumas todo y cuentas lo que se llama algo que es casi la probabilidad de que la partícula cuántica vaya de aquí a aquí, pues se calcula de esa manera. Claro, esto revolucionó el mercado, claro vosotros porque a lo mejor no estáis muy puestos con la versión alternativa de la mecánica cuántica que se basa de en otras historias, sobre todo en la ecuación de Claro, esto hizo un giro completo, digamos, Simplemente deciros solo para que veáis la pinta que tiene, que esto es un cálculo real, cuántico y exacto de de eso que os he dicho.
O sea esta cosa de aquí es digamos la amplitud de probabilidad, por cierto para pasar de amplitud a probabilidad se eleva al cuadrado, pero bueno es un detalle. Bueno pero ¿qué tiene que ver con la probabilidad? Vamos. Bueno pues si quieres saber que la probabilidad de que un un bicharraco que empiece en el instante TYT inicial, que llegue aquí en el tiempo final, que tenga una masa de lo que sea y que la distancia entre estos puntos sea x f menos x y, coges este número, lo calculas y eso es la amplitud. Y este número se ha calculado de, haciendo eso que os he dicho, coge un camino, calcula la acción, coge otro camino, calcula la acción.
Cuando tengas todas las acciones las pones encima de la de la e y luego lo sumas todo, y el resultado es esto.
